和差化积（change sum or difference into product of trigonometric 函数）是指在平面三角中，把某些角的三角函数的和差表达式化成另一些角的三角函数的乘积形式，这种三角函数表达式的恒等变形过程称为和差化积。它是用三角恒等式换元的方法转化出新的变量间三角函数恒等式，是三角函数的一类重要公式。该公式是基于两角和与差的正弦、余弦公式的结构特征，进行串联应用的结果。
和差化积的公式及其推导为，，，。
和差化积公式是由法国数学家韦达首先发现的。文艺复兴后期，法国数学家韦达成为三角公式的集大成者。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一。在这本书中，除汇总前人的成果外，他还补充了自己发现的如和差化积公式等新公式。和差化积公式可以用来计算与三角函数如（sinx±siny）、（sin2x-sin2y）等有关的一类问题。
定义
和差化积是指在平面三角中，把某些角的三角函数的和差表达式化成另一些角的三角函数的乘积形式，这种三角函数表达式的恒等变形过程称为和差化积。它是三角函数的一类重要公式；和差化积公式是用三角恒等式换元的方法转化出新的变量间三角函数恒等式。该公式是基于两角和与差的正弦、余弦公式的结构特征，进行串联应用的结果。与积化和差公式可以近似为逆运算，用来计算与三角函数有关的一类问题。
简史
法国数学家韦达首先发现了和差化积公式。韦达是三角公式的集大成者。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一。在这本书中，除总结前人的成果外，他还补充了自己发现新公式如何差化积公式等。
推导证明
如下图所示，A和B是单位圆O上的任意两点。设。C是线段AB的中点，由于为等腰三角形，因此OC是∠AOB的角平分线也是底边AB上的高，OC的长度等于OB的长度乘以，即，则点C的坐标为（），即点C是线段AB的中点，其坐标为（）。
又因为点A（），点B的坐标为（），C是线段AB的中点，所以可得，。
事实上，上述提到的角α和β都是锐角。但重要的是，根据三角函数的性质，当α和β为任意角时，上述公式依然成立。这一点在此不再赘述。此公式本质上是圆的对称性的解析表达。抓住圆的对称性这一点，可以更容易地记忆和理解该公式。它不仅是数学中的一个重要概念，也是理解圆形几何特性的关键所在。通过这一公式，可以更深入地探索三角函数与圆形之间的关系。
应用
解决与sinx±siny有关问题
根据和差化积公式，可以轻松得到以下等式：。当遇到三角函数表达式，若x+y或x-y为定值或特殊值时，利用三角函数的和差公式，将原式化简为只含有正弦或余弦的单名三角函数形式，便于求解。
例1：（2013年重庆市9）=（）：（A），（B），（C），（D）。对原式进行变形，得到以下步骤：转化为。进一步变形为。最终简化为。
利用和差化积化简上式得：==，故选择答案（C）。
解决与sin2x-sin2y有关问题
===。
例2：上式中若x+y或x-y为已知、定值或可约情形，则极易求解。已知，要求的值。=====。
总之，简单的三角恒等变换中的和差化 积公式，可以用来处理三角函数中的一些求值、证明或判断等相关问题，可以使得三角函数问题的解决更加简捷有效．而在具体应用和差化积公式时，要注意应用公式之后能否出现特殊角；应用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消去同类项等；应用公式之后能否使三角函数关系式的结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换与转化创造条件，是基于深度学习与创新应用的基本要求。
相关定理
勾股定理
勾股定理是中国古代几何学的成就之一，它给出了直角三角形三边的长度关系，即任意一个直角三角形的两条直角边长度平方之和等于斜边长度的平方。又称商高定理或毕达哥拉斯定理。中国汉朝的《周髀算经》中，周公与商高对话提及直角三角形有勾三股四弦五的关系。书中虽已给出一般情形的证明，但原证已失传。赵爽（赵爽）通过勾股割补图展示了其割补证法：原勾股形为△AFB，正方形FBEI代表勾方，正方形DHIG代表股方。通过割下△DGC补到△DHA，割下△BEC补到△BFA，最终得到弦方ABCD。此外，欧几里得的《几何原本》第一卷末也记载了勾股定理的证明。该定理的推广即为任意三角形的余弦定理：，其中C是边c的对角。
三角函数
三角函数是起源于几何学的最简单的超越函数，高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法，即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx、cosx以及由它们导出的、、、，它们的定义下图所示。
积化和差
积化和差（change product into sum or difference of trigonometric 函数）是三角函数的一类重要公式，指一些三角函数的乘积可以依式化成三角函数的和或差。积化和差公式在历史上最早被称为“加减术”，与对数类似，它是德国天文学家维纳为了简化冗长繁杂的运算而萌生出的创造之举。
其公式为：，，，。
相关人物
弗朗索瓦·韦达是法国数学家，16 世纪最有影响的数学家之一.被尊称为“代数之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。
韦达是法国16 世纪最有影响力的数学家。他在毕业以后（1564—1568)和从政期间(1584—1589)曾潜心探讨数学，并一直将这一研究作为业余爱好。为了把研究成果及时发表.还自筹资金印刷和发行自己的著作。由于他的论著内容深奥，言辞艰涩，故其理论当时并没有产生很大影响。直到1646年，荷兰数学家斯霍膝在莱顿出版了韦达全部著作的文集，才使他的理论渐渐流传开来，得到后人的承认和赞美。
例题
设函数（1）已知函 数是 偶 函 数 ，求的 值 ；（2）求函数的值域 。
解：（1）因为是偶函数，所以任取都 有，即.移项得利用和差化积公式可得所以又因为所以或.
（2）由条件，函数 所以值域为
参考资料
勾股定理.中国大百科全书.2025-06-09
初等函数.中国大百科全书.2025-06-11